Instabilité de l'Imprimeur :
Cas Newtonien
Dans un premier temps nous avons étudié l'instabilité d'un liquide visqueux newtonien : de l'huile de silicone (PDMS). Ce travail s'est déroulé au laboratoire de Pysique de l'ENS.
Cas où un seul des cylindres tourne :
Dans ce cas et au-dessus d'une valeur seuil de la vitesse de rotation, l'interface située du coté où les surfaces s'éloignent l'une de l'autre devient instable en prenant tout d'abord une forme sinusoïdale. A grande vitesse l'interface devient asymétrique et prend la forme d'arches identiques et stationnaires. Au fur et à mesure que la vitesse de rotation du cylindre augmente, ces arches deviennent plus profondes et de plus petite longueur d'onde, mais restent parfaitement stationnaires.
Photographie d'une portion de l'interface entre huile (en haut) et air (en bas). On observe des arches identiques et immobiles séparées par de minces murs d'huile.
Nous avons montré que cette instabilité est une variante de l'instabilité de Saffman et Taylor, sauf qu'ici le gradient d'épaisseur de la cellule ajoute un terme stabilisant dans les équations. Nous avons effectué, en collaboration avec V. Hakim, l'analyse linéaire de l'instabilité. L'analogie entre croissance directionnelle et instabilité de l'imprimeur, évidente dans la forme des interfaces et dans les équations, est encore renforcée par l'existence de transitoires similaires. Dans notre expérience, des sauts de la vitesse de rotation du cylindre génèrent des réajustements de longueur d'onde. Certains de ces transitoires se présentent comme une onde de dilatation de la structure et ont aussi été observés dans deux expériences de croissance directionnelle (d'un cristal liquide et d'un eutectique). Dans la limite des grandes vitesses de rotation, le nombre de Péclet (rapport de la longueur d'onde des cellules sur la longueur associée au gradient d'épaisseur) est faible et nous avons vérifié que, comme pour la croissance directionnelle, les arches ont bien la forme des profils stationnaires de l'instabilité de Saffman et Taylor.
Lors de la thèse de L. Fourtune, nous avons mené une étude systématique de l'évolution de la longueur d'onde en géométrie confinée, c'est à dire lorsque la longueur de l'interface est imposée. Il a été possible d'induire des oscillations lentes et de faible amplitude d'une extrémité de l'interface. La réponse du système à ces sollicitations est clairement de type diffusif pour la phase de la structure. Nous avons pu mesurer ce coefficient de diffusion de phase ainsi que ses variations. Il est apparu alors que la disparition d'une cellule correspond à une instabilité d'Eckhaus - le coefficient de diffusion de phase s'annule - alors que la nucléation est précédée d'un phénomène de divergence du coefficient de diffusion de phase. Ce résultat nouveau a pu être interprété dans le cadre de deux équations couplées représentant la dynamique du mode fondamental et de son premier harmonique.
Cas des deux cylindres tournants :
Lorsque les deux cylindres tournent, une dépendance temporelle apparaît. La dynamique non-linéaire de l'interface est alors la dynamique d'un système étendu (grand nombre de cellules) à une dimension d'espace.
Pour des vitesses de signe opposé (cylindres contrarotatifs) les cellules deviennent inclinées et se mettent à se propager. Une mesure fine des différentes bifurcations et une analyse en terme d'interaction entre le mode le plus instable et son premier harmonique a été effectuée en collaboration avec le Professeur Cummins (City College, New York) en séjour sabbatique dans notre équipe.
La situation est différente lorsque les deux rotations sont de même sens. Là aussi, dès que la deuxième vitesse de rotation est non nulle, il apparaît une transition dans la dynamique de l'interface : certaines cellules voient leur largeur fluctuer dans le temps, elles peuvent éventuellement disparaître et réapparaître. Ces fluctuations arrivent par bouffées, localisées en temps et en espace. Il y a coexistence de domaines parfaitement ordonnés et calmes (appelés laminaires) avec des domaines irréguliers (appelés chaotiques). Ceux-ci se caractérisent par des défauts et par une perte de cohérence spatiale et temporelle de la structure de base. Ces comportements peuvent être interprétés dans le cadre du modèle unidimensionnel de transition vers le chaos par Intermittence Spatio-temporelle.
Instabilité du ménisque amont :
Nous avons de plus découvert une nouvelle instabilité dans le montage de l'imprimeur à deux cylindres. Dans le cas d'un très faible remplissage par l'huile et des très faibles vitesses de rotation, le ménisque amont peut devenir instable avant le ménisque aval. Des comportements variés ont été décrits : ondes stationnaires ou propagatives, digitations d'huile dans l'air (au contraire du l'instabilité classique) ainsi que divers modes temporels secondaires. Toutefois une compréhension complète du mécanisme d'instabilité fait encore défaut.
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